Sabit Sırt Uzaklıklı Kinematik Yüzeyler

TÜBİTAK Projesi, 2018 - 2020

Proje Türü: TÜBİTAK Projesi
Başlama Tarihi: Haziran 2018
Bitiş Tarihi: Haziran 2020

Proje Özeti

Yüzeyler çok eskiden beri Matematikçilerin ilgilendikleri önemli konulardan biri olmuştur. Bu nedenle yaygın bir çalışma alanıdır. Diferensiyel geometride regle yüzeyler, minimal yüzeyler, sabit eğrilikli yüzeyler, paralel yüzeyler ve sabit sırt uzaklıklı yüzeyler gibi bazı özel yüzeyler üzerinde değişik açılardan çalışmalar yapılmış ve bu alanda bazı makaleler ve kitaplar yazılmıştır (Çöken vd., 2008; Craig, 1883; Eisenhart, 1909; Görgülü ve Çöken, 1994; Görgülü ve Çöken, 1993; Nizamoğlu, 1986; Patriciu, 2010; Gray, 1993; Kühnel, 2002; Lopez, 2008). Eisenhart ünlü kitabında paralel yüzeylere bir bölüm ayırmıştır (Eisenhart, 1909). Ünlütürk ve Özüsağlam, Minkowski 3-uzayında paralel yüzeyleri incelemişlerdir (Ünlütürk ve Özüsağlam, 2013). E³ uzayındaki bir M yüzeyinin normal vektörü doğrultusunda sıfırdan farklı sabit bir uzaklığa ötelenmesiyle M yüzeyine paralel olan bir M^r yüzeyi elde edilir. Bu sabit uzaklık keyfi olarak seçilebildiğinden M yüzeyine paralel olan sonsuz sayıda paralel M^r yüzeyi vardır. Eğer M yüzeyinin noktaları E³ uzayındaki herhangi bir birim vektör doğrultusunda ötelenirse M yüzeyinin sabit sırt uzaklıklı M^f yüzeyleri elde edilir. M^f sabit sırt uzaklıklı yüzeylerinde öteleme vektörü özel olarak M yüzeyinin birim normal vektörü alınırsa M yüzeyinin paralel yüzeyleri bulunur. Bu nedenle M yüzeyinin sabit sırt uzaklıklı yüzeyleri, paralel yüzeylerinden daha genel yüzeylerdir. Sabit sırt uzaklıklı yüzeyler farklı yönleriyle pek çok yazar tarafından ele alınmış ve incelenmiştir (Tarakçı ve Hacısalioğlu, 2004; Sağlam ve Kalkan, 2010, 2013, 2014). Tarakçı ve Hacısalihoğlu, sabit sırt uzaklıklı yüzeylerin şekil operatörü, Gauss ve ortalama eğriliklerini hesaplamışlardır (Tarakçı ve Hacısalioğlu, 2004). Sağlam ve Kalkan bu hesapların Minkowski 3-uzayındaki karşılıklarını bularak konjuge tanjant vektörleri ve asimptotik doğrultuları elde etmişlerdir. Aktan vd. sabit sırt uzaklıklı yüzeyler için Euler teoremini ve Dupin göstergesini hesaplamışlardır. Daha sonra bu formüller ve yarı-Öklid uzaylarına genelleştirilmiştir. Çakmak ve Tarakçı sabit sırt uzaklıklı yüzeylerin dönel yüzeyleri üzerinde çalışarak bu yüzey üzerindeki bir görüntü eğrisinin eğriliklerini bulmuşlardır (Çakmak ve Tarakçı, 2016). Yine Yurttançıkmaz ve Tarakçı sabit sırt uzaklıklı yüzeyler ile Focal yüzeyler arasındaki bağıntıları elde etmişlerdir (Yurttançıkmaz ve Tarakçı, 2015).

Proje yürütücüsünün yürüttüğü doktora tezinde E³ 3-boyutlu Öklid uzayındaki bir M yüzeyinin noktalarına özel (kısıtlandırılmış) vida hareketini uygulayarak bu yüzeye ait özel vida yüzeyleri elde edilmiştir. Özel vida yüzeyinin şekil operatörü, Gauss ve ortalama eğrilikleri hesaplanmıştır. Ayrıca, M yüzeyindeki bir eğrinin özel vida yüzeyi üzerindeki resminin Frenet-Serret ve Darboux çatıları bulunmuştur (Kemer, 2015).

Bu çalışmada E³ 3-boyutlu Öklid uzayındaki bir M yüzeyinin noktalarını dual kuaterniyonlarla ifade etmeyi amaçlamaktayız. Daha sonra M yüzeyinin dual noktalarına Selig ve Husty’ nin çalışmasında kullandığı yöntemi geliştirerek kuaterniyonlarla ifade edilen katı cisim hareketini uygulayıp M yüzeyinden genel sabit sırt uzaklıklı kinematik M^gyüzeylerini elde etmeyi hedeflemekteyiz. Genel katı cisim hareketinde öteleme vektörü ve dönme açısı özel seçilerek M^g sabit sırt uzaklıklı kinematik yüzeylerinin özel halleri olarak paralel yüzeyler, sabit sırt uzaklıklı yüzeyler ve vida yüzeyleri elde edilebileceğinden M^g yüzeyleri bahsedilen yüzeylerden daha genel olan yüzeyler olacaktır. M^g yüzeyinin şekil operatörü, Gauss ve ortalama eğrilikleri ile Euler teoremi, Dupin göstergesi, konjuge tanjant vektörler ve asimptotik doğrultular bulunacaktır. Son olarak M yüzeyi üzerinde alınan bir eğrinin M^g sabit sırt uzaklıklı kinematik yüzeyi üzerindeki görüntüsünün Frenet-Serret ve Darboux çatılarını bulunarak M yüzeyindeki eğrinin Frenet-Serret ve Darboux çatılarında meydana gelen değişimler incelenecektir.

M ve M^g yüzeylerinin temel kinematik parametreleri (yer vektörü , çizgisel hız vektörü , ivme vektörü ve açısal hız vektörü ) katı cisim hareketiyle elde edilecek olan dönme ve öteleme hareketlerine göre ayrı ayrı tanımlamayı hedeflemekteyiz. Ayrıca M ve M^g yüzeylerinin katı cisim hareketine göre temel dinamik parametreleri (çizgisel momentum , açısal momentum , kinetik enerjisi , döndürme etkisi (tork) ve korunumlu kuvvet ) dönme eksenine bağlı olarak tanımlanacaktır. Temel hareket kuramını kullanarak M ve M^g yüzeylerinin noktaları arasındaki kinematik ve dinamik parametrelerin değişimlerini incelemeyi amaçlamaktayız. Tüm bu hesaplamalarımızda yüzeyin homojen olduğunu kabul ederek kütle yoğunluğunu sabit tutuyoruz. M ve M^g yüzeylerinin bilgisayar grafikleri yöntemleri (OpenGL kütüphanesi) kullanılarak detaylı görüntülenmesi yapılacaktır. M^g yüzeyinin şekil operatörü, Gauss ve ortalama eğrilikleri ile Euler teoremi, Dupin göstergesi, konjuge tanjant vektörler ve asimptotik doğrultuları bilgisayar grafikleri yöntemi (OpenGL kütüphanesi) ve C⁺⁺ bilgisayar programlama dili kullanılarak hesaplanıp görüntülenmesi sağlanacaktır. M yüzeyi üzerinde alınan bir eğrinin Frenet-Serret ve Darboux çatılarının katı cisim hareketi sonucu M^g sabit sırt uzaklıklı genel kinematik yüzeyi üzerinde elde edilecek görüntülerini bilgisayar grafikleri yöntemi (OpenGL kütüphanesi) ve C⁺⁺ bilgisayar programlama dili vasıtasıyla görsel hale getirmeyi amaçlamaktayız. Bu sayede yapılan matematiksel ve fiziksel işlemlerin görsel teyidi alınmış olacaktır. Dolayısıyla projede yapılması tasarlanan tüm matematiksel ve fiziksel işlemlerin simülasyonu gerçekleştirilecektir.

Bu projenin başarıyla sonuçlanması neticesinde diferensiyel ve kinematik geometriye paralel yüzeyler, sabit sırt uzaklıklı yüzeyler ve vida yüzeyleri gibi bu yüzeylerden daha genel olan yeni bir yüzeyi alışılagelmişin dışında farklı yol ve araçlar kullanarak kazandırmayı amaçlamaktayız. Aynı zamanda elde edilen bu yeni yüzeyin diferensiyel geometride bir yüzey için bulunabilecek özelliklerinin yanında fiziksel olarak kinematik ve dinamik parametrelerini de hesaplayarak yazılacak program vasıtasıyla tüm bu özelliklerin görsel olarak görüntülenmesinin sağlanması hedeflenmektedir. Bu sayede bahsedilen yüzeylerde diferensiyel geometricilerin ve fizikçilerin yaptığı tüm çalışmalar daha genel olan sabit sırt uzaklıklı kinematik yüzeyler üzerinde de yapılabilecektir. Elde edilen sonuçlar bilgisayar programları yardımıyla görsel olarak da takip edebilme olanağı sunacaktır.