Reaksiyon-difüzyon denklem sistemlerinin B-spline sonlu elemanlar yöntemi ile nümerik çözümleri

---

Tezin Türü: Doktora

Tezin Yürütüldüğü Kurum: Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ, MATEMATİK ANABİLİM DALI, Türkiye

Tezin Onay Tarihi: 2009

Tezin Dili: Türkçe

Öğrenci: ALİ ŞAHİN

Danışman: İDİRİS DAĞ

Açık Arşiv Koleksiyonu: AVESİS Açık Erişim Koleksiyonu

Özet:

Bu tez çalışmasının temel amacı, birçok bilim dalında bazı fiziksel olayları modellemek için kullanılan, reaksiyon-difüzyon denklem sistemlerinin nümerik çözümlerini elde etmektir. Bu amaç doğrultusunda, diferensiyel denklemlerin nümerik çözümlerinde yaygın olarak kullanılan sonlu elemanlar yöntemi kullanılmıştır.Nümerik yöntemin uygulanışında, ilk olarak, Crank-Nicolson formülleri yardımıyla denklem sisteminin zaman ayrıştırması yapıldı. Daha sonra denklem sistemindeki lineer olmayan terimler lineerleştirilerek sonlu elemanlar yöntemi uygulandı. Sonlu elemanlar yönteminde, konum ayrıştırması için problemin çözüm bölgesi eşit uzunluklu alt aralıklara bölündü ve bu aralıklar üzerinde ağırlık fonksiyonu olarak dirac-delta fonksiyonu, taban fonksiyonu olarak da sırasıyla kuadratik, kübik, kuartik ve kuintik B-spline taban fonksiyonları seçildi. Böylece, reaksiyon-difüzyon denklem sistemi, katsayı matrisleri her satırında belirli sayıda sıfırdan farklı eleman bulunduran blok band matrisler olan matris denklemine dönüştürüldü. Elde edilen bu matris denkleminin çözümleri için ise Thomas algoritmaları ve Gauss eliminasyon yöntemi kullanıldı.Farklı derecelerdeki B-spline fonksiyonlarının kullanımı ile ortaya konan nümerik yöntemler, farklı problemler üzerinde test edildi. Yöntemlerin doğruluğu araştırılırken lineer problem için L2 ve Loo hata normları, lineer olmayan bazı problemler için ise bağıl hata kullanıldı. Bu sayede, elde edilen çözümler, gerek birbirileri ile gerekse de literatürde yer alan diğer bazı çalışmalarla karşılaştırılarak, önerilen yöntemlerin avantaj ve dezavantajları tartışıldı.Seçilen test problemlerinin karakterine göre ortaya çıkan konumsal desenler, reaksiyon-difüzyon denklem sisteminde yer alan bağımlı değişkenlere ait yoğunluk değişimlerinin konum ve zaman ekseni üzerindeki izdüşüm grafikleriyle oluşturuldu.